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<!DOCTYPE html>

<title>Beugungsscheibchen</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Beugungsscheibchen</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Beugungsscheibchen</b> (auch: <b>Beugungsringe</b>) entstehen bei der <a href="Beugung_(Physik)" title="Beugung (Physik)">Beugung</a> eines <a href="Licht" title="Licht">Licht</a>strahls an einer <a href="Blende_(Optik)" title="Blende (Optik)">Blende</a>. Ist die Blende kreisförmig, so beobachtet man ein zentrales <a href="Intensit%C3%A4t_(Physik)" title="Intensität (Physik)">Intensitäts</a><a href="Extremwert" title="Extremwert">maximum</a>, umgeben von Ringen abnehmender Licht-Strahlungsintensität. Nichtkreisförmige Blenden erzeugen gleichfalls Beugungsstrukturen, die sich deutlich von einem Beugungsscheibchen unterscheiden können (<a href="Spike_(Beugung)" title="Spike (Beugung)">Spikes</a>).

</p><p>In der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> werden Beugungsscheibchen auch als <b>Airy-Scheibchen</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">Airy disc</span>) bezeichnet,<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> benannt nach dem englischen Astronomen <a href="George_Biddell_Airy" title="George Biddell Airy">George Biddell Airy</a>.

</p><p>Mathematisch wird die Beugung von Licht durch das <a href="Beugungsintegral" title="Beugungsintegral">Beugungsintegral</a> beschrieben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Phänomenologie"><span id="Ph.C3.A4nomenologie"></span>Phänomenologie</h2></div>

<p>Selbst ein nach den Gesetzen der <a href="Geometrische_Optik" title="Geometrische Optik">geometrischen Optik</a> perfektes Instrument, ohne <a href="Abbildungsfehler" title="Abbildungsfehler">Abbildungsfehler</a>, kann einen als Objekt gegebenen <a href="Lichtpunkt" class="mw-redirect" title="Lichtpunkt">Lichtpunkt</a> nicht genau auf einen Punkt abbilden, denn durch die Beugung des Lichts an der <a href="Aperturblende" class="mw-redirect" title="Aperturblende">Aperturblende</a> entsteht in der <a href="Bildebene_(Optik)" class="mw-redirect" title="Bildebene (Optik)">Bildebene</a> ein unscharfer Fleck.

</p><p>Die Form des Flecks hängt <a href="Reziproker_Raum" class="mw-redirect" title="Reziproker Raum">reziprok</a> von der Form der Blende ab, insbesondere ist seine Größe <a href="Umgekehrt_proportional" class="mw-redirect" title="Umgekehrt proportional">umgekehrt proportional</a> zur Größe der Blende. Bei einer kreisförmigen Blende, gegeben etwa durch die runde <a href="Fassung_(Technik)" title="Fassung (Technik)">Fassung</a> einer <a href="Linse_(Optik)" title="Linse (Optik)">Linse</a>, ist auch der Fleck <a href="Rotationssymmetrisch" class="mw-redirect" title="Rotationssymmetrisch">rotationssymmetrisch</a>, mit einem zentralen Maximum und schwachen, <a href="Konzentrisch" class="mw-redirect" title="Konzentrisch">konzentrischen</a> Ringen. Da die Größe dieses Musters zudem von der <a href="Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlänge</a> abhängt, sind bei weißem Licht die Beugungsringe kaum zu sehen. Der zentrale Beugungsfleck wird nach dem englischen Astronomen <a href="George_Biddell_Airy" title="George Biddell Airy">George Biddell Airy</a> auch Airy-Scheibchen genannt.

</p><p>Versucht man benachbarte Punkte eines Objektes auseinanderzuhalten und erhöht über die <a href="Bildweite" title="Bildweite">Bildweite</a> die <a href="Vergr%C3%B6%C3%9Ferung_(Optik)" title="Vergrößerung (Optik)">Vergrößerung</a>, so wächst zwar der Abstand zwischen den entsprechenden Beugungsbildern, aber auch die Beugungsbilder selber werden im gleichen Verhältnis größer. Man spricht von <a href="Beugungsbegrenzung" class="mw-redirect" title="Beugungsbegrenzung">Beugungsbegrenzung</a> des Winkel<a href="Aufl%C3%B6sungsverm%C3%B6gen" title="Auflösungsvermögen">auflösungsvermögens</a>. Einfach zu berechnen sind Beugungsbilder für unendliche Bildweite. Das entspricht der <a href="Lochkamera" title="Lochkamera">Lochkamera</a> und der <a href="Beugungsintegral#Fraunhofer-Näherung" title="Beugungsintegral">Fraunhofer- bzw. Fernfeldnäherung des Beugungsintegrals</a>.

</p><p>Aufgrund des mit der Blendenöffnung kleiner werdenden Beugungsscheibchens auf der einen Seite und des mit der Blendenöffnung größer werdenden <a href="%C3%96ffnungsfehler" class="mw-redirect" title="Öffnungsfehler">Öffnungsfehlers</a> auf der anderen Seite ergibt sich die größte <a href="Bildsch%C3%A4rfe" class="mw-redirect" title="Bildschärfe">Bildschärfe</a> bei einer <a href="Optische_Abbildung" title="Optische Abbildung">optischen Abbildung</a> mit der <a href="Kritische_Blende" title="Kritische Blende">kritischen Blende</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beugung_an_einer_Kreisblende">Beugung an einer Kreisblende</h2></div>

<p>Die <a href="Lichtintensit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Lichtintensität">Lichtintensität</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I(r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(r)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43eabce3279a8b35ce65904e1bc775fb78e931f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.03ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I(r)}" loading="lazy"></span> folgt der Funktion

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}I(r)&=I_{0}\cdot \left({\frac {E(r)}{E_{0}}}\right)^{2}\\&=I_{0}\cdot \left({\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}\right)^{2}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb5a60646180fac6ba2bf314231176c4c23d0d30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:25.032ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}I(r)&=I_{0}\cdot \left({\frac {E(r)}{E_{0}}}\right)^{2}\\&=I_{0}\cdot \left({\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}\right)^{2}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

<ul><li>der <a href="Feldst%C3%A4rke" title="Feldstärke">Feldstärke</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(r)=E_{0}\cdot {\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(r)=E_{0}\cdot {\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4644c3600aa2bec086182312037e7f32e440635.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.101ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle E(r)=E_{0}\cdot {\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}" loading="lazy"></span> hinter einer mit <a href="Monochromatisch" class="mw-redirect" title="Monochromatisch">monochromatischem</a> Licht bestrahlten <a href="Lochblende" title="Lochblende">Lochblende</a>

<ul><li>der <a href="Besselsche_Differentialgleichung#Bessel-Funktionen_erster_Gattung" class="mw-redirect" title="Besselsche Differentialgleichung">Besselfunktion erster Art</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/260ffe7da7c858cf114ad89a6c794944ea4e760f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{1}}" loading="lazy"></span></li>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {k\,a\,q}{\pi R}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/920931a546a19bbee971c04bb99175644880773b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.268ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {k\,a\,q}{\pi R}}}" loading="lazy"></span>

<ul><li>der <a href="Kreiswellenzahl" class="mw-redirect" title="Kreiswellenzahl">Kreiswellenzahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bb0a1ba22db801ee2cbe8bb4183de2304d81cd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.91ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}" loading="lazy"></span>

<ul><li>der Wellenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"></span></li></ul></li>

<li>dem Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> der Lochblende</li>

<li>dem Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> (in der Bildebene) zwischen dem Ort, an welchem die <a href="Elektrische_Feldst%C3%A4rke" title="Elektrische Feldstärke">elektrische Feldstärke</a> berechnet werden soll, und dem Mittelpunkt des zentralen Beugungsscheibchens</li>

<li>dem (schrägen) Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> zwischen dem Ort, an welchem die elektrische Feldstärke berechnet werden soll, und dem Mittelpunkt der Lochblende.</li></ul></li></ul></li></ul>

<p>Die Lichtintensität geht also in regelmäßigen Abständen auf Null und enthält nach außen schwächer werdende Nebenmaxima (vgl. Diagramm und folgender Kasten).

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

</p>

<div class="klappleiste-kopf" style="text-align:left;">Die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2J_{1}(\pi r)/(\pi r))^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2J_{1}(\pi r)/(\pi r))^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fdbf0e6551706b0bf1e8e680439f0ed303fd4b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.913ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (2J_{1}(\pi r)/(\pi r))^{2}}" loading="lazy"></span></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=0}" loading="lazy"></span> den Funktionswert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span>,</li>

<li>die Standardabweichung des ersten Beugungsscheibchens beträgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}3950}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}3950}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/448fe6b6da197cdff46f2a5a3f977b2c7cd48cac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.459ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}3950}" loading="lazy"></span>,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=0{,}5145}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42bfddfbb43f0f93a075b8b64a39d5e17fa311ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=0{,}5145}" loading="lazy"></span> den Funktionswert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e308a3a46b7fdce07cc09dcab9e8d8f73e37d935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/2}" loading="lazy"></span> (50 % der Intensität),</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=0{,}7052}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1af03fa7139554dab8552d05995a285e61528d2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=0{,}7052}" loading="lazy"></span> den Funktionswert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/4}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/4}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d3cf1ef33695c3d98cb09f01e5700f927ce928c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/4}" loading="lazy"></span> (25 % der Intensität),</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1{,}2197}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b37193bf0e1869071076da7caa30ab13627910f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=1{,}2197}" loading="lazy"></span> die erste Nullstelle</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1{,}6347}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b639d96920b431407e429e43125198fb906f3101.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.606ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=1{,}6347}" loading="lazy"></span> das erste Nebenmaximum mit dem Funktionswert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}01750}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}01750}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac66239872113a983e3e3e24d5fc92a68bce7f84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.622ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}01750}" loading="lazy"></span> (1,75 % der Intensität)</li>

<li>hat weitere Nullstellen bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2{,}2331,\ 3{,}2383,\ \ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2{,}2331,\ 3{,}2383,\ \ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52c344918fce84646ac73bb5445fbe62e9ff04dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.258ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2{,}2331,\ 3{,}2383,\ \ldots }" loading="lazy"></span></li>

<li>hat weitere Nebenmaxima bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2{,}6793,\ 3{,}6987,\ \ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2{,}6793,\ 3{,}6987,\ \ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2a14db226614d3427f7842db476ba526661ab7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.258ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2{,}6793,\ 3{,}6987,\ \ldots }" loading="lazy"></span></li>

<li>erhält man in Excel mittels <code>(2*BESSELJ(PI()*x,1)/(PI()*x))^2</code> mit dem Argument <code>x</code></li></ul>

</div></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exakte_Formeln">Exakte Formeln</h3></div>

<p>Die Größe der zentralen Beugungsscheibe ergibt sich aus der ersten <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a> der Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {E(r)}{E_{0}}}={\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {E(r)}{E_{0}}}={\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d63c2f7686af3b775954a08ea852c532d3bc2cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.488ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {E(r)}{E_{0}}}={\frac {2\,J_{1}(\pi r)}{\pi r}}}" loading="lazy"></span>, die bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=1{,}2196\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1{,}2196\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a8cd44c6f4c0ff508ce5636ce9e8bd48f96dbfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=1{,}2196\ldots }" loading="lazy"></span> liegt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Winkelauflösung"><span id="Winkelaufl.C3.B6sung"></span>Winkelauflösung</h4></div>

<p>Der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"></span> zwischen der <a href="Optische_Achse" class="mw-disambig" title="Optische Achse">optischen Achse</a> und dem Rand des zentralen Beugungsscheibchens ergibt sich aus o. g. Winkelradius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> zu:

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \,\theta \approx 1{,}22\ \cdot {\frac {\lambda }{D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac625cfef5c14c3c1be39dffaa98796396d5b615.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.973ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \sin \,\theta \approx 1{,}22\ \cdot {\frac {\lambda }{D}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \theta =\theta +{\mathcal {O}}(\theta ^{3})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5930059548bd4e2ac6b0a086f72f06f651689b0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.166ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sin \theta =\theta +{\mathcal {O}}(\theta ^{3})}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \ll 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \ll 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d879842f3f2778cca6422dc8364e3994fe95430.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.867ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta \ll 1}" loading="lazy"></span> (<a href="Kleinwinkeln%C3%A4herung" title="Kleinwinkelnäherung">Kleinwinkelnäherung</a>):

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \approx 1{,}22\cdot {\frac {\lambda }{D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730b3706b4699f456588ff3d48d266b17fd673e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.763ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \theta \approx 1{,}22\cdot {\frac {\lambda }{D}}}" loading="lazy"></span><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl>

<p>mit dem Blendendurchmesser <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Durchmesser_des_Beugungsscheibchens">Durchmesser des Beugungsscheibchens</h4></div>

<p>Bildet eine Linse aus dem Unendlichen mit der <a href="Brennweite" title="Brennweite">Brennweite</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ab, so hat das zentrale Beugungsscheibchen den Durchmesser:

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}d&=2\cdot \theta \cdot f\\&\approx 2\cdot \left(1{,}22\cdot {\frac {\lambda }{D}}\right)\cdot f\\&=2{,}4392\dots \ \cdot \lambda \cdot k\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0cd452386123ad228d3468d983cb6d52935c57f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.505ex; width:22.86ex; height:12.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}d&=2\cdot \theta \cdot f\\&\approx 2\cdot \left(1{,}22\cdot {\frac {\lambda }{D}}\right)\cdot f\\&=2{,}4392\dots \ \cdot \lambda \cdot k\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

<ul><li>dem Durchmesser <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> der Linse</li>

<li>der <a href="Blendenzahl" class="mw-redirect" title="Blendenzahl">Blendenzahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=f/D}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=f/D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa365d4e36b4ff599dc4b1dffb9415063e968aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.675ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k=f/D}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<p>Diese Größe des Beugungsscheibchens, das sich aus dem effektiven Blendendurchmesser des optischen Systems ergibt, bestimmt das <a href="Aufl%C3%B6sungsverm%C3%B6gen" title="Auflösungsvermögen">Auflösungsvermögen</a>. Zwei Punkte lassen sich nämlich nach dem <a href="Rayleigh-Kriterium" title="Rayleigh-Kriterium">Rayleigh-Kriterium</a> dann noch sicher trennen, wenn die Maxima ihrer Abbilder mindestens um den Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d/2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/582b6455b1ff5f4fb027024a8b1458687dc8ed74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d/2}" loading="lazy"></span> des Beugungsscheibchens auseinander liegen. Da der Durchmesser <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span> des Beugungsscheibchens gemäß o. g. Formel umso kleiner wird, je größer der Durchmesser <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> der Linse bzw. je kleiner die Blendenzahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> sind, benötigen hoch auflösende <a href="Teleskop" title="Teleskop">Teleskope</a> große Spiegel.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Näherungsformeln"><span id="N.C3.A4herungsformeln"></span>Näherungsformeln</h3></div>

<p>In der Praxis rechnet man oft mit folgenden <a href="N%C3%A4herungsformel" class="mw-redirect" title="Näherungsformel">Näherungsformeln</a> (für grünes Licht mit 550 <a href="Nanometer" class="mw-redirect" title="Nanometer">nm</a> Wellenlänge):

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Winkelauflösung_2"><span id="Winkelaufl.C3.B6sung_2"></span>Winkelauflösung</h4></div>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mtext>Winkelsekunden</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\frac {100\,\mathrm {mm} }{D}}\cdot {\text{Winkelsekunden}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82f77ca0ebad9f0ea707bcbe33888f118f73af00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.461ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\frac {100\,\mathrm {mm} }{D}}\cdot {\text{Winkelsekunden}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>(Rayleigh-Kriterium ergibt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {140\,\mathrm {mm} }{D}}\cdot }">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\tfrac {140\,\mathrm {mm} }{D}}\cdot }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ccf712ee3bcacb11a0c39d58ed2e2dd58fe1348.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.66ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {140\,\mathrm {mm} }{D}}\cdot }" loading="lazy"></span> <a href="Winkelsekunde" title="Winkelsekunde">Winkelsekunden</a>)

</p><p><i>Beispiel:</i> eine Objektivöffnung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=100\,\mathrm {mm} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=100\,\mathrm {mm} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/896989a168bb93ec2e89c21432c585f2fef47a37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.769ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D=100\,\mathrm {mm} }" loading="lazy"></span> Durchmesser erlaubt eine Winkelauflösung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1^{\prime \prime }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1^{\prime \prime }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9bd2d4566b23d05c4a6a15964af1f3509a6c8ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1^{\prime \prime }}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Durchmesser_des_Beugungsscheibchens_2">Durchmesser des Beugungsscheibchens</h4></div>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=1\,\mathrm {\mu m} \cdot {\tfrac {f}{D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15bab4105ba88a39aec26b6760d46d676b915d8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.077ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle d=1\,\mathrm {\mu m} \cdot {\tfrac {f}{D}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>(Rayleigh-Kriterium ergibt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=1{,}34\,}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=1{,}34\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/802d4e40d9869aa6c9a231cfe6c83e4eeefe3310.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.836ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d=1{,}34\,}" loading="lazy"></span> <a href="Meter#Mikrometer" title="Meter">µm</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot {\tfrac {f}{D}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot {\tfrac {f}{D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bc60a52bcf05830269d4c3ea2298b50e2affd79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.844ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \cdot {\tfrac {f}{D}}}" loading="lazy"></span>)

</p><p><i>Beispiel:</i> eine Blende von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {f}{D}}=11}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {f}{D}}=11}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2a0a9e82472b2e19841323066c2627dadbe4f12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.62ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {f}{D}}=11}" loading="lazy"></span> ergibt ein Beugungsscheibchen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 11\,\mathrm {\mu m} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 11\,\mathrm {\mu m} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76ebeaa889ae54a0cac0a3c293f2a67484476450.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.05ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 11\,\mathrm {\mu m} }" loading="lazy"></span> Durchmesser.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Andere_Blendenformen">Andere Blendenformen</h2></div>

<p>Weicht die Blende von der Kreisform ab, so verändert sich die Form des Zentralmaximums und der höheren <a href="Beugungsordnung" title="Beugungsordnung">Beugungsordnungen</a>.

</p><p>Das linke der beiden Bilder rechts zeigt die Beugungsscheibchen (rechts) unterschiedlicher Blenden (links). Die ringförmige Helligkeitsmodulation, die man bei einer kreisförmigen Blende erwartet, ist überlagert von strahlenförmigen Sternen, den <i><a href="Spike_(Beugung)" title="Spike (Beugung)">Spikes</a></i>. Besonders deutlich treten sie bei der Dreiecksblende hervor.

</p><p>Das rechte der beiden Bilder zeigt ein Beispiel für eine Rechteck-Blende, ihre Orientierung ist oben links in der Bildecke angedeutet. Das Verhältnis von Höhe und Breite spiegelt sich auch im Zentralfleck wider, aber mit reziproken Verhältnissen, da Blende und Beugungsbild über die <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> verknüpft sind. Die Nebenmaxima sind am stärksten in den Hauptrichtungen ausgeprägt.

</p><p>Wird eine Dunkelblende verwendet, so ergibt sich im Schatten der entsprechenden Kreisscheibe ebenfalls ein typisches Beugungsbild mit einem <a href="Poisson-Fleck" title="Poisson-Fleck">Poisson-Fleck</a> in der Mitte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_beugungsbegrenzte_Auflösung"><span id="Beispiele_f.C3.BCr_beugungsbegrenzte_Aufl.C3.B6sung"></span>Beispiele für beugungsbegrenzte Auflösung</h2></div>

<p>Alle Betrachtungen erfolgen, wenn nicht anders angegeben, bei einer mittleren sichtbaren Wellenlänge von 555 nm (grün).

</p>

<ul><li>Ein beugungsbegrenztes <a href="Objektiv_(Optik)" title="Objektiv (Optik)">Objektiv</a> erzeugt:

<ul><li>bei einer <a href="Blendenzahl" class="mw-redirect" title="Blendenzahl">Blendenzahl</a> von 3 ein Beugungsscheibchen von ca. 4 µm Durchmesser. Dies ist auf extrem hochauflösenden <a href="Schwarzwei%C3%9Ffilm" title="Schwarzweißfilm">Schwarz-Weiß</a>-<a href="Negativfilm" title="Negativfilm">Negativfilmen</a> im <a href="Kleinbild" class="mw-redirect" title="Kleinbild">Kleinbildformat</a> erkennbar.</li>

<li>bei einer Blendenzahl von 11 ein Beugungsscheibchen von knapp 15 µm Durchmesser. Dies ist auf vielen mittelauflösenden <a href="Fotoemulsion" title="Fotoemulsion">Filmemulsionen</a> erkennbar.</li></ul></li></ul>

<dl><dd>Gleiches gilt für <a href="Bildsensor" title="Bildsensor">Bildsensoren</a> mit entsprechenden <a href="Pixelpitch" title="Pixelpitch">Pixelrasterabständen</a>.</dd></dl>

<ul><li>Wenn die <a href="Internationale_Raumstation" title="Internationale Raumstation">Internationale Raumstation</a> ISS mit einem Objektiv mit 14 cm Durchmesser ausgerüstet ist, lassen sich Details der Größe von 1<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">"</a> auflösen. Bei einer <a href="Flugh%C3%B6he" title="Flughöhe">Flughöhe</a> von 350 km entspricht das einer Auflösung von 1,7 m. Um diese Details fotografieren zu können, müssen sie größer als das Auflösungsvermögen des Sensors sein. Wenn dieses 4,8 µm beträgt, ist eine <a href="Brennweite" title="Brennweite">Brennweite</a> von mindestens 1 m erforderlich.</li>

<li>Das <a href="Hubble-Weltraumteleskop" title="Hubble-Weltraumteleskop">Hubble-Weltraumteleskop</a> umkreist die Erde in einer Höhe von 590 km. Sein <a href="Teleskopspiegel" class="mw-redirect" title="Teleskopspiegel">Spiegel</a> hat einen Durchmesser von 240 cm. Auf die Erde gerichtet hätte es unter optimalen Bedingungen eine Auflösung von 0,17 m.</li>

<li>Große Spiegel sind teuer. <a href="Spionagesatellit" class="mw-redirect" title="Spionagesatellit">Spionagesatelliten</a> kompensieren den Nachteil kleinerer Spiegel mit einer geringen Flughöhe. Bei einem Spiegeldurchmesser von 100 cm und einer Flughöhe von 150 km ist theoretisch eine Auflösung von 0,10 m möglich. Bei <a href="Unbemanntes_Luftfahrzeug" title="Unbemanntes Luftfahrzeug">Drohnen</a> mit entsprechend geringeren Flughöhen ist trotz noch kleinerer Objektive die erreichbare Auflösung von Objekten an der <a href="Erdoberfl%C3%A4che" title="Erdoberfläche">Erdoberfläche</a> noch höher.</li>

<li>Ein alltäglich beobachtbares Beispiel für Beugungsscheibchen ist die <a href="Intrinsisch" title="Intrinsisch">intrinsische</a> <a href="Wahrnehmung" title="Wahrnehmung">Wahrnehmung</a>, also die Wahrnehmung eines <a href="Reiz" title="Reiz">Reizes</a>, der in dem <a href="Sinnesorgan" title="Sinnesorgan">Sinnesorgan</a> seinen Ursprung hat, das an der Wahrnehmung beteiligt ist. Blickt man z. B. gegen eine helle, möglichst einfarbige Fläche (wie den Himmel), so sieht man schwache, transparente Kringel, die langsam nach unten sinken und sich oft zu Ketten zusammenschließen: eben die Beugungsscheibchen. Sie entstehen durch abgestorbene <a href="Zelle_(Biologie)" title="Zelle (Biologie)">Zellen</a> im <a href="Kammerwasser" title="Kammerwasser">Kammerwasser</a> des Auges.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Encircled_Energy" title="Encircled Energy">Encircled Energy</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Diffraction?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Beugung</a></span></b> – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external free" href="http://cnx.org/content/m13097/latest/">http://cnx.org/content/m13097/latest/</a> englische (!) Herleitung der Intensitätsverteilung bei Kreisblenden (Bessel-Funktionsabhängigkeit)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Susana Frech, Stefan Frech: <cite style="font-style:italic">Fachwörterbuch Astronomie</cite>. BoD – Books on Demand, Norderstedt 2011, ISBN 978-3-8423-1963-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>8</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=H-6LHffZidwC&pg=PA8&q=%22Airy-Scheibchen%22#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Beugungsscheibchen&rft.au=Susana+Frech%2C+Stefan+Frech&rft.btitle=Fachw%C3%B6rterbuch+Astronomie&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783842319639&rft.pages=8&rft.place=Norderstedt&rft.pub=BoD+-+Books+on+Demand" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.enzyklo.de/Begriff/Airy-Scheibchen"><i>Airy-Scheibchen.</i></a> enzyklo.de,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 15. April 2014</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ABeugungsscheibchen&rft.title=Airy-Scheibchen&rft.description=Airy-Scheibchen&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.enzyklo.de%2FBegriff%2FAiry-Scheibchen&rft.publisher=enzyklo.de"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">The intensity of the Fraunhofer diffraction pattern of a circular aperture (the Airy pattern) is given by the squared modulus of the Fourier transform of the circular aperture:

I = Io (2J1(x)/x)^2

(Direkte Kopie der Formel aus der englischen Wikipedia ging nicht.)</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-19" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Beugungsscheibchen&oldid=262552575">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

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</main>

</div>

</body></html>